歳差・章動の変換行列について！

天体の位置やこよみを正確に計算する際に必要になってくる「歳差」と「章動」の変換行列についての調査記録です。

0. 前提条件

• ここでは「歳差」や「章動」が何かということは説明しないので、必要であれば各自お調べください。

1. 歳差の変換行列（Fukushima の方法）

歳差の変換行列$P$は以下のように書ける。

$$\begin{eqnarray*} P(\varepsilon_{A}, \bar{\psi}, \bar{\phi}, \bar{\gamma})&=&R_1(-\varepsilon_{A})R_3(-\bar{\psi})R_1(\bar{\phi})R_3(\bar{\gamma}) \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} P_{11} & P_{12} & P_{13} \\ P_{21} & P_{22} & P_{23} \\ P_{31} & P_{32} & P_{33} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

但し、$R_1,R_3$は$x$軸、$z$軸を軸とした回転で、以下のように表される。

$$\begin{eqnarray*} R_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right),\ \ \ R_3 = \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

よって、

$$\begin{eqnarray*} P_{11} &=& \cos\bar{\psi}\cos\bar{\gamma} + \sin\bar{\psi}\cos\bar{\phi}\sin\bar{\gamma} \\ P_{12} &=& \cos\bar{\psi}\sin\bar{\gamma} - \sin\bar{\psi}\cos\bar{\phi}\cos\bar{\gamma} \\ P_{13} &=& -\sin\bar{\psi}\sin\bar{\phi} \\ P_{21} &=& \cos\varepsilon_A\sin\bar{\psi}\sin\bar{\gamma} - (\cos\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\cos\bar{\phi} + \sin\varepsilon_A\sin\bar{\phi})\sin\bar{\gamma} \\ P_{22} &=& \cos\varepsilon_A\sin\bar{\psi}\sin\bar{\gamma} + (\cos\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\cos\bar{\phi} + \sin\varepsilon_A\sin\bar{\phi})\cos\bar{\gamma} \\ P_{23} &=& \cos\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\sin\bar{\phi} - \sin\varepsilon_A\cos\bar{\phi} \\ P_{31} &=& \sin\varepsilon_A\sin\bar{\psi}\cos\bar{\gamma} - (\sin\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\cos\bar{\phi} - \cos\varepsilon_A\sin\bar{\phi})\sin\bar{\gamma} \\ P_{32} &=& \sin\varepsilon_A\sin\bar{\psi}\sin\bar{\gamma} + (\sin\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\cos\bar{\phi} - \cos\varepsilon_A\sin\bar{\phi})\cos\bar{\gamma} \\ P_{33} &=& \sin\varepsilon_A\cos\bar{\psi}\sin\bar{\phi} + \cos\varepsilon_A\cos\bar{\phi} \end{eqnarray*}$$

また、ユリウス世紀数を$\displaystyle T=\frac{JD- 2451545}{36525}$とすると、GCRSから変換する場合の$\bar{\gamma}, \bar{\phi}, \bar{\psi}$は以下のとおり。（単位：$″$）

$$\begin{eqnarray*} \bar{\gamma} = &-&0.052928 + 10.556378T + 0.4932044T^2 \\ &-&0.00031238T^3 - 0.000002788T^4 + 0.0000000260T^5 \\ \bar{\phi} = &&84381.412819 - 46.811016T +0.0511268T^2 \\ &+&0.00053289T^3 - 0.000000440T^4 - 0.0000000176T^5 \\ \bar{\psi} = &-&0.041775 + 5038.481484T + 1.5584175T^2 \\ &-&0.00018522T^3 -0.000026452T^4 - 0.0000000148T^5 \end{eqnarray*}$$

J2000.0から変換する場合の$\bar{\gamma}, \bar{\phi}, \bar{\psi}$は以下のとおり。（単位：$″$）

$$\begin{eqnarray*} \bar{\gamma} = &&10.556403T + 0.4932044T^2 - 0.00031238T^3 \\ &-&0.000002788T^4 + 0.0000000260T^5 \\ \bar{\phi} = &&84381.406000 - 46.811015T + 0.0511269T^2 \\ &+&0.00053289T^3 - 0.000000440T^4 - 0.0000000176T^5 \\ \bar{\psi} = &&5038.481507T + 1.5584176T^2 - 0.00018522T^3 \\ &-& 0.000026452T^4 -0.0000000148T^5 \end{eqnarray*}$$

そして、$\varepsilon_A$はいずれも以下のとおり。（単位：$″$）

$$\begin{eqnarray*} \varepsilon_A = &&84381.406000 - 46.836769T - 0.0001831T^2 \\ &+& 0.00200340T^3 - 5.76 \times 10^{-7}T^4 - 4.34 \times 10^{-8}T^5 \end{eqnarray*}$$

2. 章動の変換行列（MHB2000(IAU2000A)の修正版）

歳差と同様に、章動の変換行列$N$は以下のように書ける。

$$\begin{eqnarray*} N(\varepsilon_{A}, \Delta\varepsilon, \Delta\psi) &=&R_1(-\varepsilon_{A}-\Delta\varepsilon)R_3(-\Delta\psi)R_1(\varepsilon_A) \\ &=&\left( \begin{array}{ccc} N_{11} & N_{12} & N_{13} \\ N_{21} & N_{22} & N_{23} \\ N_{31} & N_{32} & N_{33} \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

$R_1,R_3$は、

$$\begin{eqnarray*} R_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & \sin\theta \\ 0 & -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right),\ \ \ R_3 = \left( \begin{array}{ccc} \cos\theta & \sin\theta & 0\\ -\sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \end{eqnarray*}$$

であるので、

$$\begin{eqnarray*} N_{11} &=& \cos(\Delta\psi) \\ N_{12} &=& -\sin(\Delta\psi)\cos(\varepsilon_A) \\ N_{13} &=& -\sin(\Delta\psi)\sin(\varepsilon_A) \\ N_{21} &=& \cos(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\sin(\Delta\psi) \\ N_{22} &=& \cos(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\Delta\psi)\cos(\varepsilon_A) + \sin(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\sin(\varepsilon_A) \\ N_{23} &=& \cos(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\Delta\psi)\sin(\varepsilon_A) - \sin(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\varepsilon_A) \\ N_{31} &=& \sin(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\sin(\Delta\psi) \\ N_{32} &=& \sin(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\Delta\psi)\cos(\varepsilon_A) - \cos(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\sin(\varepsilon_A) \\ N_{33} &=& -\sin(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\Delta\psi)\sin(\varepsilon_A) + \cos(\varepsilon_A + \Delta\varepsilon)\cos(\varepsilon_A) \end{eqnarray*}$$

上記の$\Delta\varepsilon, \Delta\psi$はMHB2000章動理論によるものである（ここでは割愛）が、若干修正する。

$$\begin{eqnarray*} \Delta\psi &=& \Delta\psi_{MHB} + (0.4697 \times 10^{-6} + f) \Delta\psi_{MHB} \\ \Delta\varepsilon &=& \Delta\varepsilon_{MHB} + f\Delta\varepsilon_{MHB} \\ &&(但し、 f = -2.7774 \times 10^{-6}T) \end{eqnarray*}$$

3. 歳差・章動の一括変換

歳差と章動を以下のよう一括で変換することもできる。

$$\begin{eqnarray*} NP(\varepsilon_{A}, \Delta\varepsilon, \bar{\psi}, \Delta\psi, \bar{\phi}, \bar{\gamma})&=&R_1(-\varepsilon_{A} - \Delta\varepsilon)R_3(-\bar{\psi} - \Delta\psi)R_1(\bar{\phi})R_3(\bar{\gamma}) \end{eqnarray*}$$

4. その他

上記の内容を $\LaTeX$ で作成したものは以下。

• 歳差・章動変換行列

また、「章動の変換行列」を MHB2000 理論によるものから若干修正しているのは、日本の国立天文台が採用している理論に合わせたため。

5. 参考サイト

• 歳差・章動と地球の向き
• 暦象年表の改訂について（PDF 1.7MB）

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以上。