C++ - 円周率計算(Arctan 系公式(その2))

Updated:


今まで、円周率を Arctan 系の公式で多桁計算する概念、C++ アルゴリズムを紹介してきました。

ただ、上記の過去の記事で紹介した方法は、一度級数展開したものをまとめ直した形の式にしていたため、収束の速い項も収束の遅い項と同じ計算量となっていました。
要は、計算しなくてもよい(計算しても意味のない)部分ままで計算していたことになります。

そこで、級数展開後にまとめずに公式の Arctan 毎に必要な分だけ計算する方法に変更してみました。

当然、プログラミン言語そのものが保有している三角関数は使用しません。級数展開して計算します。(多桁の円周率計算では、全く無意味ですから。但し、常用対数は影響がないので関数を使用)

0. 前提条件

  • Linux Mint 14 Nadia (64bit) での作業を想定。
  • g++ (Ubuntu/Linaro 4.7.2-2ubuntu1) 4.7.2
  • 多桁計算で使用する1つの配列のサイズは8桁としている。
    (当方の環境で扱える int 型の範囲は -2,147,483,648 〜 2,147,483,647 であることから)
  • 指定する桁数は int 型の範囲としているが、あまり大きいと計算に膨大な時間を要するので注意!

1. 今までの計算方法

(以下では、「マチンの公式」を例に説明しているが、Arctan 系の公式なら考え方はどれも同じ。)

今までは公式を以下のようなに展開してまとめた形で計算を行なっていた。

PI_MACHIN_1

(\(\tan ^{-1} = \arctan\) と置き換えてもよい。)

そして、級数の計算する項数は、収束速度の遅い方に合わせて、

PI_MACHIN_2

としていた。

2. 今回の計算方法

前述のように展開後の級数をまとめず、以下のように考える。

PI_MACHIN_3

(ちなみに、\(\tan ^{-1} = \arctan\) と置き換えてもよい。)

そして、級数の計算する工数は、第1項、第2項それぞれを以下のように考える。

PI_MACHIN_4

ちなみに、Arctan の分子が 1 でない「オイラーの公式」の場合は、以下のようになる。

PI_EULER_1

3. C++ ソース作成

例として、以下のようにソースを作成した。

  • Arctan 系公式8種類から選択できるようにしている。
  • 計算する桁数も入力できるようにしている。

File: calc.h

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#ifndef INCLUDED_CALC_H
#define INCLUDED_CALC_H

#include <stdio.h>
#include <time.h>

// 出力文字列 ( コンソール、テキストファイル共通 )
#define STR_TITLE   "** Pi Computation by Arctan method **\n"
#define STR_FORMULA "   Formula = [ %s ]\n"
#define STR_DIGITS  "   Digits  = %d\n"
#define STR_TIME    "   Time    = %f seconds\n"
// 多桁計算
#define MAX_DIGITS 100000000  // 1つの int で8桁扱う

/*
 * 計算クラス
 */
class Calc
{
    // 各種変数
    int ks;           // 公式・項数
    int kk[12];       // 公式・係数
    int l, l1;        // 計算桁数、配列サイズ
    int n[4];         // 計算項数
    int cr, br;       // 多桁計算・繰り上がり、借り
    long w;           // 多桁計算・被乗数、被除数ワーク
    long r;           // 多桁計算・剰余ワーク
    clock_t t1, t2;   // 計算開始CPU時刻、計算終了CPU時刻
    double tt;        // 計算時間
    char *formula;    // 公式名
    char *str_pre;    // 結果出力ファイル名・プリフィックス
    char *str_ext;    // 結果出力ファイル名・拡張子
    char fname[32];   // 結果出力ファイル名
    FILE *out_file;   // 結果出力ファイル名・ポインタ

    public:
        Calc(int, int);                  // コンストラクタ
        void calc();                     // 計算
        void ladd(int *, int *, int *);  // ロング + ロング
        void lsub(int *, int *, int *);  // ロング - ロング
        void lmul(int *, int,   int *);  // ロング * ショート
        void ldiv(int *, int,   int *);  // ロング / ショート
        void display(double, int *);     // 結果出力
};

#endif

File: calc.cpp

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#include <math.h>
#include <string.h>
#include "Calc.h"

using namespace std;

/*
 * コンストラクタ
 */
Calc::Calc(int x, int y)
{
    // ==== 各種定数定義
    const char *cst_FORMULA[] = {
        "Machin", "Klingenstierna", "Euler",    "Euler2",
        "Gauss",  "Stormer",        "Stormer2", "Takano"
    };                             // 公式名
    const char *str_pre = "PI_";   // 保存ファイル名・プリフィックス
    const char *str_ext = ".txt";  // 保存ファイル名・拡張子
    const int cst_KS[] = {2, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 4};              // 公式の項数
    const int cst_KK[8][12] = {                                 // 公式内係数
        { 16, 1,  5,  -4, 1, 239,   0, 0,   0,  0, 0,      0},  // 1: Machin
        { 32, 1, 10,  -4, 1, 239, -16, 1, 515,  0, 0,      0},  // 2: Klingenstierna
        { 20, 1,  7,   8, 3,  79,   0, 0,   0,  0, 0,      0},  // 3: Euler
        { 16, 1,  5,  -4, 1,  70,   4, 1,  99,  0, 0,      0},  // 4: Euler(2)
        { 48, 1, 18,  32, 1,  57, -20, 1, 239,  0, 0,      0},  // 5: Gauss
        { 24, 1,  8,   8, 1,  57,   4, 1, 239,  0, 0,      0},  // 6: Stormer
        {176, 1, 57,  28, 1, 239, -48, 1, 682, 96, 1,  12943},  // 7: Stormer(2)
        { 48, 1, 49, 128, 1,  57, -20, 1, 239, 48, 1, 110443}   // 8: Takano
    };

    // ==== 各種変数設定
    formula = (char *)cst_FORMULA[x-1];   // 公式名取得
    // 結果出力ファイル名生成
    fname[0] = '\0';
    strcat(fname, str_pre);
    strcat(fname, formula);
    strcat(fname, str_ext);
    printf("\n[ Output file : %s ]\n\n",fname);
    ks = cst_KS[x-1];                     // 計算対象公式の項数
    for (int i = 0; i < ks * 3; i++)
        kk[i] = cst_KK[x-1][i];           // 計算対象公式の係数
    l  = y;                               // 計算桁数
    l1 = (l / 8) + 1;                     // 配列サイズ
    for (int i = 0; i < ks; i++)          // 計算項数
        n[i]  = (l / (log10(kk[i * 3 + 2]) - log10(kk[i * 3 + 1])) + 1) / 2 + 1;
}

/*
 * 計算
 */
void Calc::calc()
{
    // ==== 計算開始時刻
    t1 = clock();

    // ==== 配列宣言
    // 各項の(2k-1)部分を除いた部分、各項の(2k-1)部分含む部分、各項の総和、総和
    int a[ks][l1 + 2], q[ks][l1 + 2], sk[ks][l1 + 2], s[l1 + 2];

    // ==== 配列初期化
    for (int i = 0; i < l1 + 2; i++) {
        s[i] = 0;
        for (int j = 0; j < ks; j++)
            a[j][i] = sk[j][i] = 0;
    }

    // ==== 計算初期値
    for (int i = 0; i < ks; i++) {
        if (kk[i * 3] >= 0) {
            a[i][0] = kk[i * 3] * kk[i * 3 + 2];
        } else {
            a[i][0] = kk[i * 3] * kk[i * 3 + 2] * -1;
        }
        // 分子が 1 で無ければ、さらに分子の値で除算しておく
        if (kk[i * 3 + 1] != 1)
            ldiv(a[i], kk[i * 3 + 1], a[i]);
    }

    // ==== 計算
    for (int i = 0; i < ks; i++) {
        for (int k = 1; k <= n[i]; k++) {
            // 各項の分数の部分
            ldiv(a[i], kk[i * 3 + 2], a[i]);
            ldiv(a[i], kk[i * 3 + 2], a[i]);
            if (kk[i * 3 + 1] != 1) {  // 分子が 1 でない時
                lmul(a[i], kk[i * 3 + 1], a[i]);
                lmul(a[i], kk[i * 3 + 1], a[i]);
            }

            // 各項の 1 / (2 * k - 1) の部分
            ldiv(a[i], 2 * k - 1, q[i]);

            // 各項の総和に加減算
            if (k % 2 != 0)
                ladd(sk[i], q[i], sk[i]);
            else
                lsub(sk[i], q[i], sk[i]);
        }
    }

    // 各項の総和の加減算
    for (int i = 0; i < ks; i++) {
        if (kk[i * 3] >= 0) {  // 加算
            ladd(s, sk[i], s);
        } else {               // 減算
            lsub(s, sk[i], s);
        }
    }

    // ==== 計算終了時刻
    t2 = clock();

    // ==== 計算時間
    tt = (double)(t2 - t1) / CLOCKS_PER_SEC;

    // ==== 結果出力
    display(tt, s);
}

/*
 * ロング + ロング
 */
void Calc::ladd(int a[], int b[], int c[])
{
    cr = 0;
    for (int i = l1 + 1; i >=0; i--) {
        c[i] = a[i] + b[i] + cr;
        if (c[i] < MAX_DIGITS) {
            cr = 0;
        } else {
            c[i] -= MAX_DIGITS;
            cr = 1;
        }
    }
}

/*
 * ロング - ロング
 */
void Calc::lsub(int a[], int b[], int c[])
{
    br = 0;
    for (int i = l1 + 1; i >=0; i--) {
        c[i] = a[i] - b[i] - br;
        if (c[i] >= 0) {
            br = 0;
        } else {
            c[i] += MAX_DIGITS;
            br = 1;
        }
    }
}

/*
 * ロング * ショート
 */
void Calc::lmul(int d[], int e, int f[])
{
    cr = 0;
    for (int i = l1 + 1; i >=0; i--) {
        w = d[i];
        f[i] = (w * e + cr) % MAX_DIGITS;
        cr = (w * e + cr) / MAX_DIGITS;
    }
}

/*
 * ロング / ショート
 */
void Calc::ldiv(int d[], int e, int f[])
{
    r = 0;
    for (int i = 0; i < l1 + 2; i++) {
        w = d[i];
        f[i] = (w + r) / e;
        r = ((w + r) % e) * MAX_DIGITS;
    }
}

/*
 * 結果出力
 */
void Calc::display(double tt, int s[])
{
    // ==== コンソール出力
    printf(STR_TITLE);
    printf(STR_FORMULA, formula);
    printf(STR_DIGITS, l);
    printf(STR_TIME, tt);

    // ==== ファイル出力
    out_file = fopen(fname, "w");
    fprintf(out_file, STR_TITLE);
    fprintf(out_file, STR_FORMULA, formula);
    fprintf(out_file, STR_DIGITS, l);
    fprintf(out_file, STR_TIME, tt);
    fprintf(out_file, "\n          %d.\n", s[0]);
    for (int i = 1; i < l1; i++) {
        if (i % 10 == 1) fprintf(out_file, "%08d:", (i - 1) * 8 + 1);
        fprintf(out_file, " %08d", s[i]);
        if (i % 10 == 0) fprintf(out_file, "\n");
    }
    fprintf(out_file, "\n\n");
}

File: calc_pi_arctan_2.cpp

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/***********************************************************
 * 円周率計算 by Arctan 系公式
 * ( 各項の Arctan を個別に計算後に加減算する方法 )
 *
 *    1: Machin
 *    2: Klingenstierna
 *    3: Euler
 *    4: Euler(2)
 *    5: Gauss
 *    6: Stormer
 *    7: Stormer(2)
 *    8: Takano
 *
 * コンパイル方法:
 *   $ g++ Calc.h Calc.cpp CalcPiArctan.cpp -o CalcPiArctan
 **********************************************************/
#include <iostream>
#include "Calc.h"

using namespace std;

/*
 * メイン処理
 */
int main()
{
    int f, n;  // 使用公式番号、計算桁数

    try
    {
        // ==== 使用公式番号入力
        printf("1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Euler, 4:Euler(2),\n");
        printf("5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : ");
        scanf("%d", &f);
        if(f < 1 || f > 8) f = 1;  // 範囲外なら 1:Machin と判断

        // ==== 計算桁数入力
        printf("Please input number of Pi Decimal-Digits : ");
        scanf("%d", &n);

        // ==== 計算クラスインスタンス化
        Calc objCalc(f, n);

        // ==== 円周率計算
        objCalc.calc();
    }
    catch (...) {
        // ==== 異常終了
        cout << "例外発生!" << endl;
        return -1;
    }

    // ==== 正常終了
    return 0;
}

4. C++ ソースコンパイル

$ g++ calc.h calc.cpp calc_pi_arctan_2.cpp -o calc_pi_arctan_2

何も出力されなければ成功。

5. 実行

以下では、「マチンの公式」を使用して小数点以下 10,000 桁を計算している。

$ ./calc_pi_arctan_2
1:Machin, 2:Klingenstierna, 3:Euler, 4:Euler(2),
5:Gauss, 6:Stormer, 7:Stormer(2), 8:Takano : 1
Please input number of Pi Decimal-Digits : 10000

[ Output file : PI_Machin.txt ]

** Pi Computation by Arctan method **
   Formula = [ Machin ]
   Digits  = 10000
   Time    = 1.030000 seconds

公式別にテキストファイルができているはずである。

File: PI_Takano.txt

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** Pi Computation by Arctan method **
   Formula = [ Machin ]
   Digits  = 10000
   Time    = 1.030000 seconds

          3.
00000001: 14159265 35897932 38462643 38327950 28841971 69399375 10582097 49445923 07816406 28620899
00000081: 86280348 25342117 06798214 80865132 82306647 09384460 95505822 31725359 40812848 11174502
00000161: 84102701 93852110 55596446 22948954 93038196 44288109 75665933 44612847 56482337 86783165
00000241: 27120190 91456485 66923460 34861045 43266482 13393607 26024914 12737245 87006606 31558817
00000321: 48815209 20962829 25409171 53643678 92590360 01133053 05488204 66521384 14695194 15116094
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===< 途中省略 >===
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全ての公式による計算結果が一致することを確認する。

6. 検証

今回のプログラムで利用可能にしている8つの公式を使用して、どれがどの程度高速に計算できているのかを検証してみた。
小数点以下 1,000 桁、 10,000 桁、 100,000 桁を5回計算して平均をとってみた。
ちなみに計算に使用したマシンのスペックは以下のとおり。

  • CPU: Core2Duo E8500 (3.16GHz)
  • メモリ: 3.9 GiB

PI_ARCTAN_1

やはり、今まで使用していたアルゴリズムと比較して高速化できている。
今までの 65% から 80% の時間で計算できるようになった。

7. 参考サイト


当方が最初に参考した C 言語によるアルゴリズムについての書籍では、Arctan をテイラー展開(グレゴリー展開)後にさらにまとめていた。
なので、当初はそれを真似たアルゴリズムにしていたが、単純に考えれば良かった、という結果でした。

ちなみに、結果が何万桁以上になる場合は、多桁(多倍長)乗算に上記の方法ではなく「Karatsuba法」や「Toom-Cook法」や「FFT(高速フーリエ変換)」を使うのが一般的なようです。
これも踏まえて、まだまだ高速化が可能であろうということは認識できている次第です。

以上。





 

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