赤道座標と黄道座標、直交座標と極座標の変換！

天体の位置を計算する際によく使用する変換式についての記録です。

1. 赤道直交座標 -> 黄道直交座標

\(\varepsilon:\)黄道傾斜角、とすると、

\[\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} x' \\ y' \\ z' \\ \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\varepsilon & \sin\varepsilon \\ 0 & -\sin\varepsilon & \cos\varepsilon \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}\]

ちなみに、「黄道直交座標 -> 赤道直交座標」の場合は \(\varepsilon\) の符号を反転する。

2. 赤道極座標 -> 黄道極座標

\(\alpha:\)赤経、\(\delta:\)赤緯、\(\lambda:\)黄経、\(\beta:\)黄緯、\(\varepsilon:\)黄道傾斜角、とすると、

\[\begin{eqnarray*} \cos\beta\cos\lambda &=& \cos\delta\cos\alpha \\ \cos\beta\sin\lambda &=& \sin\delta\sin\varepsilon + \cos\delta\sin\alpha\cos\varepsilon \\ \sin\beta &=& \sin\delta\cos\varepsilon - \cos\delta\sin\alpha\sin\varepsilon \end{eqnarray*}\]

従って、

\[\begin{eqnarray*} \lambda &=& \tan^{-1}\left(\frac{\sin\delta\sin\varepsilon + \cos\delta\sin\alpha\cos\varepsilon}{\cos\delta\cos\alpha}\right) \\ \beta &=& \sin^{-1}(\sin\delta\cos\varepsilon - \cos\delta\sin\alpha\sin\varepsilon) \end{eqnarray*}\]

3. 黄道極座標 -> 赤道極座標

\(\lambda:\)黄経、\(\beta:\)黄緯、\(\alpha:\)赤経、\(\delta:\)赤緯、\(\varepsilon:\)黄道傾斜角、とすると、

\[\begin{eqnarray*} \cos\delta\cos\alpha =& &\cos\beta\cos\lambda \\ \cos\delta\sin\alpha =& -&\sin\beta\sin\varepsilon + \cos\beta\sin\lambda\cos\varepsilon \\ \sin\delta =& &\sin\beta\cos\varepsilon + \cos\beta\sin\lambda\sin\varepsilon \end{eqnarray*}\]

従って、

\[\begin{eqnarray*} \alpha &=& \tan^{-1}\left(\frac{-\sin\beta\sin\varepsilon + \cos\beta\sin\lambda\cos\varepsilon}{\cos\beta\cos\lambda}\right) \\ \delta &=& \sin^{-1}(\sin\beta\cos\varepsilon + \cos\beta\sin\lambda\sin\varepsilon) \end{eqnarray*}\]

4. 直交座標 -> 極座標

\(\lambda:\)経度、\(\phi:\)緯度、\(r:\)中心距離、とすると、

\[\begin{eqnarray*} \lambda &=& \tan^{-1}\frac{y}{x} \\ \phi &=& \tan^{-1}\frac{z}{r} \\ (但し、r&=&\sqrt{x^{2}+y^{2}}) \end{eqnarray*}\]

5. 極座標 -> 直交座標

\(\lambda:\)経度、\(\phi:\)緯度、\(r:\)中心距離、とすると、

\[\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) &=&\left( \begin{array}{ccc} \cos\lambda & \sin\lambda & 0 \\ -\sin\lambda & \cos\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \cos\phi & 0 & -\sin\phi \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\phi & 0 & \cos\phi \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} r \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ &=&\left( \begin{array}{c} r\cos\lambda\cos\phi \\ r\sin\lambda\cos\phi \\ -r\sin\phi \end{array} \right) \end{eqnarray*}\]

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以上。