Ruby - LU 分解（内積形式ガウス法(inner-product form)）！

Ruby で正方行列の LU 分解アルゴリズムを実装してみました。

今回使用する分解法は「内積形式ガウス法(inner-product form)」です。

ちなみに、前回は「外積形式ガウス法(outer-product form)」で実装しました。

• Ruby - LU 分解（外積形式ガウス法(outer-product form)）！

0. 前提条件

• LMDE 3 (Linux Mint Debian Edition 3; 64bit) での作業を想定。
• Ruby 2.6.3 での作業を想定。

1. LU 分解について

分解する方法には以下のようなものがある。（最初の3つがよく知られているもの）

• 外積形式ガウス法
• 内積形式ガウス法
• クラウト法
• ブロック形式ガウス法
• 縦ブロックガウス法
• 前進・後退代入
• …

2. LU 分解（内積形式ガウス法(inner-product form)）について

• LU 分解がなされたと仮定した上で、行列 L の対角要素を 1 として導出した方法。
• 分解列の左側の領域が主に参照される方法で、 “left-looking” アルゴリズムと呼ばれる。
• 並列化について
  • 行列 A を列方向分散 (＊, Cyclic)
    • 参照領域のデータがないので、通信が多発する。（ベクトルリダクションが毎回必要）
  • 行列 A を行方向分散 (Cyclic, ＊)
    • 上三角行列 U の要素（データ数が少ない）を所有すれば、独立して計算可能。

3. Ruby スクリプトの作成

• 本来、 L と U の2つの行列に分けるものだが1つの行列にまとめている。（実際に LU 分解を使用する際に L と U を意識して取り扱えばよいだけなので）
• Shebang ストリング（1行目）では、フルパスでコマンド指定している。（当方の慣習）

File: lu_decomposition_2.rb

#! /usr/local/bin/ruby
# ***********************************************
# LU 分解（内積形式ガウス法(inner-product form)）
# ***********************************************
#
class LuDecomposition
  # 元の行列
  A = [
    [2, -3,  1],
    [1,  1, -1],
    [3,  5, -7]
  ]

  # 実行
  def exec
    display("A", A)       # 元の行列 A
    lu = lu_decompose(A)  # LU 分解
    display("LU", lu)     # 結果出力
  end

  private

  # LU 分解
  # * L の対角要素を 1 とする
  #
  # @param   a: 元の正方行列 A(n, n)
  # @return  a: LU 分解後の正方行列 A(n, n)
  def lu_decompose(a)
    n = a.size

    begin
      0.upto(n - 1) do |k|
        0.upto(k - 1) do |j|
          tmp = a[j][k]
          (j + 1).upto(n - 1) { |i| a[i][k] -= a[i][j] * tmp }
        end
        if a[k][k] == 0
          puts "Can't divide by 0 ..."
          exit
        end
        tmp = 1.0 / a[k][k]
        (k + 1).upto(n - 1) { |i| a[i][k] *= tmp }
      end
      return a
    rescue => e
      raise
    end
  end

  # 行列出力
  #
  # @param s: 行列名
  # @param a: 行列(n * n)
  def display(s, a)
    n = a.size

    begin
      puts "#{s} = "
      n.times do |i|
        n.times { |j| print "  %10.2f" % a[i][j] }
        puts
      end
    rescue => e
      raise
    end
  end
end

LuDecomposition.new.exec if __FILE__ == $0

• Gist - Ruby script to do LU-decomposition by inner-product form.

4. Ruby スクリプトの実行

$ ./lu_decomposition_2.rb
A =
        2.00       -3.00        1.00
        1.00        1.00       -1.00
        3.00        5.00       -7.00
LU =
        2.00       -3.00        1.00
        0.50        2.50       -1.50
        1.50        3.80       -2.80

行列 L の対角成分を 1 として L と U に分けて LU を計算してみると、 A になるだろう。

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以上。