C++ - 重回帰式計算（説明変数3個）！
Updated:
C++ で、数値からなる同サイズの配列4個を説明変数3個・目的変数1個とみなして重回帰式を計算する方法についての記録です。
連立1次方程式を解くのに「ガウスの消去法」を使用します。
過去には Fortran 等で実装しています。
0. 前提条件
- Debian GNU/Linux 10.3 (64bit) での作業を想定。
- GCC 9.2.0 (G++ 9.2.0) (C++17) でのコンパイルを想定。
1. アルゴリズム
求める重回帰式を \(y=b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3\) とすると、残差の二乗和 \(S\) は
\[\begin{eqnarray*} S = \sum_{i=1}^{N}(y_i - b_0 - b_1x_{1i} - b_2x_{2i} - b_3x_{3i})^2 \end{eqnarray*}\]となる。 \(b_0,\ b_1,\ b_2,\ b_3\) それぞれで偏微分したものを \(0\) とする。
\[\begin{eqnarray*} \frac{\partial S}{\partial b_0} &=& 2\sum_{i=1}^{N}(b_0 + b_1x_{1i} + b_2x_{2i} + b_3x_{3i} - y_i) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b_1} &=& 2\sum_{i=1}^{N}(b_0x_{1i} + b_1x_{1i}x_{1i} + b_2x_{1i}x_{2i} + b_3x_{1i}x_{3i} - x_{1i}y_i) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b_2} &=& 2\sum_{i=1}^{N}(b_0x_{2i} + b_1x_{2i}x_{1i} + b_2x_{2i}x_{2i} + b_3x_{2i}x_{3i} - x_{2i}y_i) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial b_3} &=& 2\sum_{i=1}^{N}(b_0x_{3i} + b_1x_{3i}x_{1i} + b_2x_{3i}x_{2i} + b_3x_{3i}x_{3i} - x_{3i}y_i) = 0 \end{eqnarray*}\]これらを変形すると、
\[\begin{eqnarray*} b_0N + b_1\sum_{i=1}^{N}x_{1i} + b_2\sum_{i=1}^{N}x_{2i} + b_3\sum_{i=1}^{N}x_{3i} &=& \sum_{i=1}^{N}y_i \\ b_0\sum_{i=1}^{N}x_{1i} + b_1\sum_{i=1}^{N}x_{1i}x_{1i} + b_2\sum_{i=1}^{N}x_{1i}x_{2i} + b_3\sum_{i=1}^{N}x_{1i}x_{3i} &=& \sum_{i=1}^{N}x_{1i}y_i \\ b_0\sum_{i=1}^{N}x_{2i} + b_1\sum_{i=1}^{N}x_{2i}x_{1i} + b_2\sum_{i=1}^{N}x_{2i}x_{2i} + b_3\sum_{i=1}^{N}x_{2i}x_{3i} &=& \sum_{i=1}^{N}x_{2i}y_i \\ b_0\sum_{i=1}^{N}x_{3i} + b_1\sum_{i=1}^{N}x_{3i}x_{1i} + b_2\sum_{i=1}^{N}x_{3i}x_{2i} + b_3\sum_{i=1}^{N}x_{3i}x_{3i} &=& \sum_{i=1}^{N}x_{3i}y_i \end{eqnarray*}\]となる。これらの連立1次方程式を解けばよい。
2. ガウスの消去法による連立1次方程式の解法について
当ブログ過去記事を参照。
- C++ - 連立方程式解法（ガウスの消去法）！
- Ruby - 連立方程式解法（ガウスの消去法）！
- Python - 連立方程式解法（ガウスの消去法）！
- Fortran - 連立方程式解法（ガウスの消去法）！
3. ソースコードの作成
- ファイル読み込み部分、計算部分、実行部分とソースファイルを分けている。
File: file.hpp
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#ifndef REGRESSION_MULTI_3E_FILE_HPP_
#define REGRESSION_MULTI_3E_FILE_HPP_
#include <fstream>
#include <string>
#include <vector>
class File {
std::string f_data;
public:
File(std::string f_data) : f_data(f_data) {}
bool get_text(std::vector<std::vector<double>>&);
};
#endif
File: file.cpp
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#include "file.hpp"
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <vector>
bool File::get_text(std::vector<std::vector<double>>& data) {
try {
// ファイル OPEN
std::ifstream ifs(f_data);
if (!ifs.is_open()) return false; // 読み込み失敗
// ファイル READ
std::string buf; // 1行分バッファ
while (getline(ifs, buf)) {
std::vector<double> rec; // 1行分ベクタ
std::istringstream iss(buf); // 文字列ストリーム
std::string field; // 1列分文字列
// 1行分文字列を1行分ベクタに追加
double x1, x2, x3, y;
while (iss >> x1 >> x2 >> x3 >> y) {
rec.push_back(x1);
rec.push_back(x2);
rec.push_back(x3);
rec.push_back(y);
}
// １行分ベクタを data ベクタに追加
if (rec.size() != 0) data.push_back(rec);
}
} catch (...) {
std::cerr << "EXCEPTION!" << std::endl;
return false;
}
return true; // 読み込み成功
}
File: calc.hpp
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#ifndef REGRESSION_MULTI_3E_CALC_HPP_
#define REGRESSION_MULTI_3E_CALC_HPP_
#include <vector>
class Calc {
std::vector<std::vector<double>> data; // 元データ
std::vector<std::vector<double>> mtx; // 計算用行列
bool solve_ge(std::vector<std::vector<double>>&); // ガウスの消去法
public:
Calc(std::vector<std::vector<double>>& data) : data(data) {}
unsigned int cnt; // データ件数
bool reg_multi_3e(double&, double&, double&, double&); // 重回帰式（説明変数3個）の計算
};
#endif
File: calc.cpp
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#include "calc.hpp"
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
/**
* @brief 重回帰式（説明変数3個）の計算
*
* @param[ref] a (double)
* @param[ref] b (double)
* @param[ref] c (double)
* @param[ref] d (double)
* @return 真偽(bool)
* @retval true 成功
* @retval false 失敗
*/
bool Calc::reg_multi_3e(double& a, double& b, double& c, double& d) {
unsigned int i; // loop インデックス
double s_x1 = 0.0; // sum(x1)
double s_x2 = 0.0; // sum(x2)
double s_x3 = 0.0; // sum(x3)
double s_y = 0.0; // sum(y)
double s_x1x1 = 0.0; // sum(x1 * x1)
double s_x1x2 = 0.0; // sum(x1 * x2)
double s_x1x3 = 0.0; // sum(x1 * x3)
double s_x1y = 0.0; // sum(x1 * y)
double s_x2x1 = 0.0; // sum(x2 * x1)
double s_x2x2 = 0.0; // sum(x2 * x2)
double s_x2x3 = 0.0; // sum(x2 * x3)
double s_x2y = 0.0; // sum(x2 * y)
double s_x3x1 = 0.0; // sum(x3 * x1)
double s_x3x2 = 0.0; // sum(x3 * x2)
double s_x3x3 = 0.0; // sum(x3 * x3)
double s_x3y = 0.0; // sum(x3 * y)
double x1 = 0.0; // x1 計算用
double x2 = 0.0; // x2 計算用
double x3 = 0.0; // x3 計算用
double y = 0.0; // y 計算用
try {
// データ数
cnt = data.size();
// sum(x1), sum(x2), sum(x3), sum(y), ...
for (i = 0; i < cnt; i++) {
x1 = data[i][0];
x2 = data[i][1];
x3 = data[i][2];
y = data[i][3];
s_x1 += x1;
s_x2 += x2;
s_x3 += x3;
s_y += y;
s_x1x1 += x1 * x1;
s_x1x2 += x1 * x2;
s_x1x3 += x1 * x3;
s_x1y += x1 * y;
s_x2x1 += x2 * x1;
s_x2x2 += x2 * x2;
s_x2x3 += x2 * x3;
s_x2y += x2 * y;
s_x3x1 += x3 * x1;
s_x3x2 += x3 * x2;
s_x3x3 += x3 * x3;
s_x3y += x3 * y;
}
// 行列1行目
mtx.push_back({(double)cnt, s_x1, s_x2, s_x3, s_y});
// 行列2行目
mtx.push_back({s_x1, s_x1x1, s_x1x2, s_x1x3, s_x1y});
// 行列3行目
mtx.push_back({s_x2, s_x2x1, s_x2x2, s_x2x3, s_x2y});
// 行列4行目
mtx.push_back({s_x3, s_x3x1, s_x3x2, s_x3x3, s_x3y});
// 計算（ガウスの消去法）
if (!solve_ge(mtx)) {
std::cout << "[ERROR] Failed to solve by the Gauss-Ellimination method!"
<< std::endl;
return false;
}
// a, b, c, d
a = mtx[0][4];
b = mtx[1][4];
c = mtx[2][4];
d = mtx[3][4];
} catch (...) {
return false; // 計算失敗
}
return true; // 計算成功
}
/**
* @brief ガウスの消去法
*
* @param[ref] 行列（配列） mtx (double)
* @return 真偽(bool)
* @retval true 成功
* @retval false 失敗
*/
bool Calc::solve_ge(std::vector<std::vector<double>>& mtx) {
int i; // loop インデックス
int j; // loop インデックス
int k; // loop インデックス
int n; // 元（行）の数
double d; // 計算用
try {
n = (int)mtx.size();
// 前進消去
for (k = 0; k < n - 1; k++) {
for (i = k + 1; i < n; i++) {
d = mtx[i][k] / mtx[k][k];
for (j = k + 1; j <= n; j++)
mtx[i][j] -= mtx[k][j] * d;
}
}
// 後退代入
for (i = n - 1; i >= 0; i--) {
d = mtx[i][n];
for (j = i + 1; j < n; j++)
d -= mtx[i][j] * mtx[j][n];
mtx[i][n] = d / mtx[i][i];
}
} catch (...) {
return false; // 計算失敗
}
return true; // 計算成功
}
File: regression_multi_3e.cpp
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/***********************************************************
重回帰式計算（説明（独立）変数3個限定）
DATE AUTHOR VERSION
2020.07.10 mk-mode.com 1.00 新規作成
Copyright(C) 2020 mk-mode.com All Rights Reserved.
***********************************************************/
#include "calc.hpp"
#include "file.hpp"
#include <cstdlib> // for EXIT_XXXX
#include <iomanip> // for setprecision
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
int main(int argc, char* argv[]) {
std::string f_data; // データファイル名
std::vector<std::vector<double>> data; // データ配列
std::size_t i; // loop インデックス
double a; // 定数 a
double b; // 係数 b
double c; // 係数 c
double d; // 係数 d
try {
// コマンドライン引数のチェック
if (argc != 2) {
std::cerr << "[ERROR] Number of arguments is wrong!\n"
<< "[USAGE] ./regression_multi_3e <file_name>"
<< std::endl;
return EXIT_FAILURE;
}
// ファイル名取得
f_data = argv[1];
// データ取得
File file(f_data);
if (!file.get_text(data)) {
std::cout << "[ERROR] Failed to read the file!" << std::endl;
return EXIT_FAILURE;
}
// データ一覧出力
std::cout << std::fixed << std::setprecision(4);
std::cout << "説明変数 X1 説明変数 X2 説明変数 X3 目的変数 Y" << std::endl;
for (i = 0; i < data.size(); i++)
std::cout << std::setw(11) << std::right << data[i][0]
<< " "
<< std::setw(11) << std::right << data[i][1]
<< " "
<< std::setw(11) << std::right << data[i][2]
<< " "
<< std::setw(10) << std::right << data[i][3]
<< std::endl;
// 計算
Calc calc(data);
if (!calc.reg_multi_3e(a, b, c, d)) {
std::cout << "[ERROR] Failed to calculate!" << std::endl;
return EXIT_FAILURE;
}
// 結果出力
std::cout << std::fixed << std::setprecision(8);
std::cout << "---\n"
<< "a = " << std::setw(16) << std::right << a
<< "\n"
<< "b = " << std::setw(16) << std::right << b
<< "\n"
<< "c = " << std::setw(16) << std::right << c
<< "\n"
<< "d = " << std::setw(16) << std::right << d
<< std::endl;
} catch (...) {
std::cerr << "EXCEPTION!" << std::endl;
return EXIT_FAILURE;
}
return EXIT_SUCCESS;
}
4. ソースコードのコンパイル
まず、以下のように Makefile を作成する。（行頭のインデントはタブ文字）
File: Makefile
gcc_options = -std=c++17 -Wall -O2 --pedantic-errors
regression_multi_3e: regression_multi_3e.o file.o calc.o
g++ $(gcc_options) -o $@ $^
regression_multi_3e.o : regression_multi_3e.cpp
g++ $(gcc_options) -c $<
file.o : file.cpp
g++ $(gcc_options) -c $<
calc.o : calc.cpp
g++ $(gcc_options) -c $<
run : regression_multi_3e
./regression_multi_3e
clean :
rm -f ./regression_multi_3e
rm -f ./*.o
.PHONY : run clean
そして、ビルド（コンパイル＆リンク）。
$ make
5. 動作確認
まず、以下のような入力ファイルを用意する。
（各行は x1, x2, x3 （説明変数）と y （目的変数）の値）
File: data.txt
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18.50 20.00 21.50 41.00
16.00 30.00 20.00 34.00
19.00 45.00 24.00 59.00
19.50 35.00 25.50 47.00
16.00 25.00 23.00 35.00
18.00 35.00 26.00 43.00
19.00 35.00 28.00 54.00
19.50 40.00 29.50 52.00
そして、実行。
$ ./regression_multi_3e data.txt
説明変数 X1 説明変数 X2 説明変数 X3 目的変数 Y
17.5000 30.0000 18.5000 45.0000
17.0000 25.0000 19.0000 38.0000
18.5000 20.0000 21.5000 41.0000
16.0000 30.0000 20.0000 34.0000
19.0000 45.0000 24.0000 59.0000
19.5000 35.0000 25.5000 47.0000
16.0000 25.0000 23.0000 35.0000
18.0000 35.0000 26.0000 43.0000
19.0000 35.0000 28.0000 54.0000
19.5000 40.0000 29.5000 52.0000
---
a = -37.04636611
b = 3.94140083
c = 0.58882151
d = -0.33792073
- 「1. アルゴリズム」内の \(b_0, b_1, b_2, b_3\) は、ソースコード内の \(a, b, c, d\) に対応。
6. 視覚的な確認
4次元であるため、3次元（説明変数2個、目的変数1個）の重回帰式のように、グラフを描画して視覚的に確認することはできない。
以上。
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